4xx ist die Klasse der Client-Fehler. Sie bedeutet, dass die Anfrage selbst ein Problem hat, und umfasst Dinge wie eine falsche URL (404), einen Syntaxfehler (400), fehlende Berechtigungen (401, 403) und zu viele Anfragen (429). Dieselbe Anfrage unverändert erneut zu senden liefert meist dasselbe Ergebnis, du musst also die Anfrage korrigieren.
5xx ist die Klasse der Server-Fehler. Sie bedeutet, dass die Anfrage gültig war, der Server sie aber nicht verarbeiten konnte, und umfasst interne Ausnahmen (500), einen fehlerhaften Upstream (502), Überlastung oder Wartung (503) und Gateway-Timeouts (504). Das sind keine Probleme, die der Client beheben kann, daher musst du die Serverprotokolle und den Backend-Zustand prüfen.
Was die Reihenfolge der Fehlersuche betrifft: Bei einem 4xx ist es schneller, zuerst URL, Header, Body und Authentifizierung der Anfrage zu prüfen, und bei einem 5xx die Serverprotokolle, den Upstream und die Ressourcennutzung. 502, 503 und 504 hängen meist mit Backend-Problemen hinter einem Reverse-Proxy zusammen.